Ainsi, historiquement, les hommes ont découvert les nombres
entiers positifs, puis les
fractions, puis les nombres
irrationnels, puis les nombres
négatifs et enfin les nombres
décimaux.
Pour rédiger un exposé sur les nombres, on adopte une progression qui ne suit généralement pas cette évolution :
♦ on admet d'abord l'existence des nombres
entiers naturels (c'est à dire
positifs), et on indique comment les additionner et les multiplier ;
♦ puis on constate qu'une différence comme 2−7 n'est pas un entier naturel : alors on introduit les nombres
entiers relatifs, qui englobent les précédents en y ajoutant les
entiers négatifs (avec eux la soustraction est toujours possible) ;
♦ puis on présente les nombres
décimaux qui permettent d'effectuer des mesures et des calculs plus précis ;
♦ puis on constate qu'un quotient comme
n'est pas décimal, alors on introduit les nombres
rationnels, qui comprennent les précédents en y ajoutant les
fractions (avec eux la division est toujours possible, sauf par 0) ;
♦ puis on constate qu'on n'a toujours pas
attrapé des nombres comme
π ou
, alors on complète avec les nombres
irrationnels.
Tous ces nombres relatifs évoqués, rationnels et irrationnels, constituent l'ensemble des
nombres réels.
Lorsque l'on gradue une droite, tout point a pour abscisse un nombre réel et tout nombre réel est l'abscisse d'un point. C'est pourquoi on peut représenter les nombres réels par les points d'une droite graduée.
On les appelle "
réels" car on a ensuite inventé d'autres nombres, indispensables pour résoudre d'autres types de problèmes ; ces nombres, difficiles à se représenter à l'esprit, s'appellent les
nombres imaginaires ou
nombres complexes. Mais cette autre aventure n'est qu'au programme du lycée et de l'université !