Polygones réguliers : place aux étoiles
[1][2][3]Le triangle équilatéral et le carré sont des grands classiques du Collège. N'y revenons pas et intéressons-nous plutôt aux deux suivants...
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Le pentagone régulier peut se construire à la règle et au compas. La construction présentée à gauche est attribuée au savant grec Ptolémée. Remarque : l'angle droit et le milieu indiqué s'obtiennent avec le compas sur le principe de la construction de la médiatrice d'un segment.
L'hexagone régulier peut aussi se construire à la règle et au compas. On retrouve (ci-contre à droite) la construction classique d'une rosace. Les diagonales partagent en effet cet hexagone en 6 triangles équilatéraux.
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En reliant les sommets d'un pentagone régulier convexe de 2 en 2 ou de 3 en 3 on obtient un pentagone régulier étoilé (à gauche en vert). Cette figure est aussi appelée pentagramme : c'est un symbole mystique souvent repris par les sectes ou dans des créations artistiques. On retrouve aussi le fameux nombre d'or dans cette construction.
En reliant les sommets d'un hexagone régulier convexe de 2 en 2 on peut tracer deux triangles équilatéraux (il n'y a pas d'hexagone régulier étoilé). On retrouve alors la figure appelée étoile de David (le sceau de Salomon...).
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Comme vous avez pu le constater, on obtient les polygones réguliers convexes à l'intérieur des figures étoilées précédentes. Du coup le procédé peut être répété (en théorie indéfiniment)... On peut alors tracer cette jolie série de polygones imbriqués !
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